高級分析是使用復(fù)雜的技術(shù)和工具對數(shù)據(jù)或內(nèi)容進(jìn)行自主或半自主的檢查，通常超出傳統(tǒng)商業(yè)智能(BI)的范圍，以發(fā)現(xiàn)更深入的見解，進(jìn)行預(yù)測或產(chǎn)生建議。接下來為大家?guī)硐つ岽髮W(xué)math2923 Analysis (Advanced)的課程輔導(dǎo)。

一、課程概覽

分析是由微積分發(fā)展而來的，它導(dǎo)致了對函數(shù)極限、序列和數(shù)列的研究。它是許多數(shù)學(xué)的基本課題之一，包括微分方程、動(dòng)力系統(tǒng)、微分幾何、拓?fù)鋵W(xué)和傅里葉分析。這個(gè)高級單元介紹了數(shù)學(xué)分析的領(lǐng)域，既有仔細(xì)的理論框架，也有選定的應(yīng)用。本單元對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、科學(xué)或工程的、具有較高數(shù)學(xué)成熟度的學(xué)生很有用。從實(shí)數(shù)系統(tǒng)的公理描述開始，本單元集中于實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的序列和系列的極限行為。

這自然而然地導(dǎo)致了對定義為極限的函數(shù)的研究，以及對均勻趨同概念的研究。特別注意的是冪級數(shù)，導(dǎo)致分析函數(shù)和復(fù)雜分析的理論。除了嚴(yán)格處理微積分中的許多概念，你將學(xué)習(xí)復(fù)分析的基本結(jié)果，如Cauchy積分定理、Cauchy積分公式、殘差定理，從而獲得評估實(shí)數(shù)積分的有用技術(shù)。通過學(xué)習(xí)本單元，你將在分析的更多形式方面打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，包括抽象概念的知識，如何應(yīng)用它們，以及在數(shù)學(xué)中構(gòu)建證明的能力。

二、什么是Analysis?

粗略地說，分析是指用其他更容易理解或處理的對象來近似某些數(shù)學(xué)對象--如數(shù)字或函數(shù)。例如，如果你想找出圓周率的前幾位小數(shù)，那么你很可能想把圓周率寫成一個(gè)你已經(jīng)知道如何計(jì)算的數(shù)字序列的極限。或者一個(gè)相反的例子：階乘的序列n!看起來很美觀，但在計(jì)算中，人們往往需要一個(gè)n!的近似值，更清楚地顯示其增長順序;這樣的近似值由斯特林的經(jīng)典公式給出。

如果你對微積分有任何了解，那么你至少已經(jīng)知道分析的一個(gè)主要思想--可微分函數(shù)是由線性函數(shù)局部逼近的。人們可以說，這個(gè)想法在大約三百年前就為分析學(xué)提供了真正的起點(diǎn)。

但可以肯定的是，你今天所學(xué)的分析完全不是三(或一)百年前的樣子。如同數(shù)學(xué)的其他重要分支一樣，分析也在不斷進(jìn)步，今天在科學(xué)、工程和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用。例如，由于分析的使用，金融業(yè)已經(jīng)成為數(shù)學(xué)家的重要雇主。

目前，分析學(xué)已經(jīng)積累了大量的成果，對該領(lǐng)域進(jìn)行 "簡要回顧 "簡直是不可能的。純粹數(shù)學(xué)系的分析人員感興趣的主要領(lǐng)域包括實(shí)分析、傅里葉分析(和小波)、函數(shù)分析、算子理論和數(shù)組、諧波分析、概率論和度量論。微分方程是滑鐵盧的許多應(yīng)用數(shù)學(xué)家研究的另一個(gè)主要分析領(lǐng)域。

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