線性代數，處理向量和矩陣的數學學科，更廣泛地說，處理向量空間和線性變換的數學學科。與數學的其他部分經常被新思想和未解決的問題所振奮不同，線性代數是非常好理解的。它的價值在于它的許多應用，從數學物理學到現代代數和編碼理論。這篇文章為大家帶來悉尼大學math2922線性和抽象代數留學生課程輔導。

一、課程概覽

線性和抽象代數是數學的基石之一，它是數學和統計學在科學和工程領域的許多應用的核心。本單元是MATH2022的高級版本，更加強調基本概念和數學的嚴謹性。本單元研究和探索矢量空間、矩陣和線性變換的特性，發展與同質和非同質線性方程(包括微分方程)的解集有關的一般原則。

線性獨立被介紹為理解和解決任意維度的線性系統的一種方式。研究實空間上的線性算子，特別注意特征值和特征向量的幾何意義，擴展第一年線性代數的思想。為了更好地理解對稱性，介紹了矩陣和置換群，并用來激勵對抽象群理論的研究。本單元的高潮是研究矩陣的內部空間、二次形式和正常形式，以及它們在數學、科學和工程中的應用。

二、向量和向量空間

線性代數通常從研究矢量開始，矢量被理解為既有大小又有方向的量。矢量很容易被用于物理應用。例如，考慮一個可以在任何方向自由移動的固體物體。當兩個力同時作用在這個物體上時，它們產生的綜合效應與一個力是一樣的。為了說明這一點，將兩個力v和w表示為箭頭;每個箭頭的方向表示力的方向，其長度表示力的大小。在圖中，v+w對應于由v和w代表的相鄰邊形成的平行四邊形的對角線。

三、線性變換和矩陣

矢量空間是線性代數的兩個主要成分之一，另一個是線性變換(或物理學家口中的 "算子")。線性變換是將一個矢量發送到或 "映射 "到另一個矢量的函數。最簡單的線性變換的例子是將每個向量發送到c乘以自身，其中c是某個常數。

因此，每個向量都保持相同的方向，但所有長度都乘以c。另一個例子是旋轉，它使所有長度保持不變，但改變了向量的方向。線性指的是變換保留了矢量加法和標量乘法的事實。這意味著，如果T是一個將向量v發送到T(v)的線性變換，那么對于任何向量v和w，以及任何標量c，該變換必須滿足T(v+w)=T(v)+T(w)和T(cv)=cT(v)的特性。

四、特征向量

在研究線性變換時，找到方向不被變換影響的非零向量是非常有用的。這些被稱為特征向量(也被稱為特性向量)。如果v是線性變換T的一個特征向量，那么T(v)=λv，對于某個標量λ，這個標量被稱為特征值。最大絕對值的特征值，連同其相關的特征向量，對許多物理應用具有特殊意義。

這是因為，無論線性變換所代表的是什么過程，往往都是重復作用--將上一個變換的輸出反饋到另一個變換中--這導致每個任意(非零)矢量都收斂在與最大特征值相關的特征向量上，盡管是按特征值的冪數重新調整。換句話說，系統的長期行為是由其特征向量決定的。

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