在數學中，線性規劃是一種在一定約束條件下優化運算的方法。線性規劃的主要目標是最大化或最小化數值。它由受線性方程或不等式形式約束的線性函數組成。線性規劃被認為是一種重要的技術，用于尋找資源的最佳利用方式。線性規劃 "一詞由兩個詞組成：線性和規劃。線性 "一詞定義了多個變量之間的一級關系。而 "編程 "一詞則定義了從多個備選方案中選擇最佳解決方案的過程。本文將介紹線性規劃的定義、其組成部分以及解決線性規劃問題的不同方法。

1.什么是線性規劃?

線性規劃(LP)或線性優化可定義為在線性約束條件下最大化或最小化線性函數的問題。約束條件可以是等式或不等式。優化問題涉及損益計算。 線性規劃問題是一類重要的優化問題，有助于找到可行區域并優化解決方案，以實現函數的最高值或最低值。

換句話說，線性規劃是一種優化方法，可使數學模型的目標函數最大化或最小化，而數學模型的一系列要求則由線性關系表示。線性規劃的主要目標是找到最優解。

線性規劃是一種評估與特定情況相關的各種不等式并計算在這些條件下可獲得的最佳值的方法。使用線性規劃時的一些假設如下：

a.必須量化約束條件的數量。

b.約束條件與目標函數之間必須是線性關系。

c.必須優化線性函數(即目標函數)。

2.線性規劃的組成部分

線性規劃的基本組成部分如下：決策變量、決策條件、數據、目標函數。

3.線性規劃的特點

以下是線性規劃的五個特點：

a.約束條件 - 約束條件必須用資源的數學形式表示。

b.目標函數 - 在問題中，目標函數應以定量方式定義。

c.線性 - 函數中兩個或多個變量之間的關系應是線性的。也就是說，變量的度數為一。

d.有限性 - 輸入和輸出數必須有有限和無限之分。如果函數有無限因子，則最優解不可行。

e.非負值 - 變量的值必須為正或零。不應該是負值。

d.決策變量 - 決策變量決定結果。它提供了問題的最終解決方案。對于任何問題，第一步都是確定決策變量。

4.線性規劃問題

線性規劃(LP)問題是與尋找線性函數的最優值有關的問題。最優值可以是最大值，也可以是最小值。給定的線性函數被視為目標函數。目標函數可以包含多個帶有約束條件的變量，并且必須滿足一組稱為線性約束條件的線性不等式。線性規劃問題可用于尋找生產、供應、運輸和分配等方面的最佳解決方案。

5.解決線性規劃問題的方法

線性規劃問題可以用多種方法來解決，如圖形法、單純形法或使用 R、open solver 等工具。下面，我們將詳細介紹兩種最重要的方法，即單純形法和圖形法。

6.線性規劃的單純形法

單純形法是解決線性規劃問題最常用的方法之一。它是一個尋找最優解的迭代過程。在這種方法中，基礎變量的值不斷變化，以獲得目標函數的最大值。下面介紹線性規劃的單純形法算法：

步驟1：創建問題(寫出不等式的約束條件和目標函數)。

步驟2： 在每個不等式表達式中加入弱變量，將給定的不等式轉換為方程。

步驟3：創建原始的單純形表格。將目標函數寫在最下面一行。每個不等式約束都出現在各自的一行?，F在，我們可以用一個稱為原始單純形表的展開矩陣來表示問題。

步驟4;確定最下面一行中最大的負條目，這有助于確定坐標軸上的列。最下面一行的最大負條目決定了目標函數的最大系數，這將幫助我們盡快實現目標函數值的最大化。

步驟5： 計算系數 要計算系數，我們需要用最右邊一列的條目除以第一列(不包括最下面一行)的條目。系數最小的一行就是該行。這一步中確定的行和這一步中確定的元素將作為樞軸元素。

步驟6：進行旋轉，使該列中的所有其他元素都等于零。

步驟7：如果最下面一行中沒有負元素，則過程結束。如果沒有，則從第 4 步重新開始。

步驟8：最后確定與最終單純形表格相關的解。

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