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紐約大學topology課程輔導

作者：海馬發布時間：2022-12-23 10:19:09

拓撲學研究空間的屬性，這些屬性在任何連續變形下都是不變的。它有時被稱為 "橡膠板幾何"，因為物體可以像橡膠一樣被拉伸和收縮，但不能被打破。例如，一個正方形可以在不破壞它的情況下變形為一個圓，但一個8字形卻不能。因此，正方形在拓撲學上等同于圓，但與8字形不同。

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拓撲學是一個相對較新的數學分支;拓撲學的大部分研究都是在1900年以后完成的。以下是拓撲學的一些分支領域。

1.一般拓撲學或點集拓撲學。

一般拓撲學通常考慮空間的局部屬性，并與分析密切相關。它概括了連續性的概念來定義拓撲空間，在這些空間中可以考慮序列的極限。有時距離可以在這些空間中定義，在這種情況下，它們被稱為公制空間;有時沒有距離的概念是有意義的。

2.組合拓撲學。

組合拓撲學考慮空間的全局屬性，由頂點、邊和面的網絡建立起來。這是拓撲學最古老的分支，可以追溯到歐拉。已經證明，拓撲學上的等價空間具有相同的數字不變性，我們現在稱之為歐拉特征。這是一個數字(V-E+F)，其中V、E和F是一個物體的頂點、邊和面的數量。例如，四面體和立方體在拓撲學上等同于球體，球體的任何 "三角化 "都有2的歐拉特征。

3.代數拓撲學。

代數拓撲學也考慮空間的全局屬性，并使用群和環等代數對象來回答拓撲學問題。代數拓撲學將一個拓撲學問題轉化為代數問題，希望能更容易解決。例如，一個被稱為同源組的群組可以與每個空間相關聯，環和克萊因瓶可以被區分開來，因為它們有不同的同源組。

4.微分拓撲學。

微分拓撲學考慮的是具有某種與每一點相關的平滑性的空間。在這種情況下，正方形和圓形不會彼此平滑地(或微分地)等同。微分拓撲學對于研究矢量場的屬性很有幫助，例如磁場或電場。

拓撲學被用于許多數學分支，如可微分方程、動力系統、結理論和復雜分析中的黎曼面。它也被用于物理學中的弦理論，以及描述宇宙的時空結構。

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