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線性代數將多元微積分、微分方程和概率論結合在一起，形成了一個廣泛應用于各種技術的數學體系。它是我們日常生活中許多科技成果的基礎。線性代數的核心在于研究向量和線性函數，從而解決包含多個變量的線性方程組。它特別關注向量(即具有大小和方向的點)和矩陣(數字的排列)的計算。
本文將深入探討線性代數的應用以及核心概念，幫助大家更好地進行課程預習。
線性代數廣泛應用于應用數學和抽象數學領域。它研究線性系統，例如給定空間內的旋轉和微分方程組。許多學科如化學、物理學、經濟學和工程學等都依賴于線性代數，尤其在數據科學和機器學習中，線性代數是關鍵的數學基礎。
線性代數在全球定位系統 (GPS)、分析電路中的電壓和電流、馬爾可夫鏈與統計模型、解碼和編碼加密信息以及生成 3D 計算機圖形等領域有著特別重要的應用。
1.向量與向量空間
向量是具有大小和方向的量。在線性代數中，你可以根據向量加法和乘法的規則，將多個向量相加。線性代數處理多種類型的向量，例如：
數值序列
多項式
數字
n 維向量
具有特定定義域的函數
二次多項式
向量空間是這些向量在加法和乘法運算下組成的集合。向量空間遵循十條公理，這些公理規定了向量在進行加法和乘法時的行為。
2.線性方程組
線性代數研究線性函數，其輸入和輸出均為向量。矩陣就是將一個向量轉換為另一個向量的線性函數。通過增廣矩陣將線性方程組轉化為矩陣方程，這個過程被稱為高斯消元法。為了求解線性方程組，可以使用行簡化梯形形式，將其轉化為易于求解的矩陣形式。
3.矩陣
矩陣是組織線性函數的一種系統化表示。雖然線性代數中的很多操作都依賴于矩陣，但本質上它研究的是線性函數而非矩陣。學習矩陣時，你將掌握其符號、與線性運算符的協作方式、矩陣的屬性、逆矩陣以及如何在線性系統中處理各種矩陣。
4.特征值與特征向量
在學習線性代數時，特征值和特征向量是非常重要的概念之一。特征值與特征向量方程是線性代數中最關鍵的方程之一。通過分解矩陣，特征值和特征向量使得復雜矩陣的分析變得更加直觀。它們在機器學習中提供了一種有效的矩陣分解方法。
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閱讀原文：http://www.brains-tank.com/news/23504_62.html
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