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一、什么是解析幾何?

解析幾何是數學的一個重要分支，它有助于在二維平面中表示幾何圖形并了解這些圖形的性質。在這里，我們將嘗試了解坐標平面和一個點的坐標，以初步了解解析幾何。

1.坐標平面

笛卡爾平面將平面空間分為二維，對于輕松定位點很有用。它也被稱為坐標平面。坐標平面的兩個軸是水平的 x 軸和垂直的 y 軸。這些坐標軸將平面分為四個象限，這些軸的交點是原點 (0. 0)。此外，坐標平面中的任何一點都用點 (x, y) 表示，其中 x 值是該點相對于 x 軸的位置，y 值是該點相對于 y 軸的位置。

坐標平面四個象限中表示的點的性質如下：

原點 O 是 x 軸和 y 軸的交點，坐標為 (0. 0)。

原點 O 右側的 x 軸是正 x 軸，原點 O 左側的是負 x 軸。同樣，原點 O 上方的 y 軸是正 y 軸，原點 O 下方的是負 y 軸。

在第一象限中表示的點 (x, y) 具有兩個正值，并參照正 x 軸和正 y 軸繪制。

在第二象限中表示的點是 (-x, y)，參照負 x 軸和正 y 軸繪制。

在第三象限中表示的點 (-x, -y) 參照負 x 軸和負 y 軸繪制。

在第四象限中表示的點 (x, -y) 參照正 x 軸和負 y 軸繪制。

解析幾何 —— 坐標平面

2.一個點的坐標

坐標是一個地址，有助于在空間中定位一個點。對于二維空間，一個點的坐標是 (x, y)。在這里，讓我們注意這兩個重要的術語。

橫坐標：它是點 (x, y) 中的 x 值，它是該點沿 x 軸距原點的距離。

縱坐標：它是點 (x, y) 中的 y 值，它是該點垂直于 x 軸的距離，平行于 y 軸。

一個點的坐標對于執行許多操作很有用，例如求距離、中點、直線的斜率、直線方程。

解析幾何 —— 坐標軸的平移和旋轉

解析幾何中的坐標軸可以通過移動坐標軸進行平移，使得新坐標軸與舊坐標軸平行。坐標軸也可以繞原點相對于 x 軸旋轉一定角度。讓我們在下面的句子中進一步了解坐標軸的平移和旋轉。

4.坐標軸的平移

以原點為 O 的給定坐標軸上一點的坐標為 (x, y)。在這里，我們將原點轉移到一個新原點 O'，新原點 O' 相對于舊坐標軸位于點 (h, k) 處。新坐標軸進行平移，使得新坐標軸與舊坐標軸平行。一個點的坐標從 (x, y) 轉換為 (x' + h, y' + k)。任何關于舊坐標軸的直線或曲線方程，都可以通過簡單地將方程中的 (x, y) 替換為 (x + h, y + k) 輕松轉換為關于新坐標軸的方程。

5.坐標軸的旋轉

坐標軸 ox 和 oy 逆時針旋轉一個角度 θ，得到新坐標軸 ox' 和 oy'。一個點相對于舊坐標軸的坐標是 (x, y)，旋轉后，相對于新坐標軸的坐標是 (x', y')。此外，我們可以通過將 (x', y') 替換為 (xCosθ - ySinθ, xSinθ + yCosθ) 來恢復舊坐標。

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