“概率理論”領域是數學的一個分支，它關注于描述不確定過程中不同結果的可能性。概率論是統計學領域的基石，統計學關注于評估從隨機數據樣本得出的推斷的不確定性。因此，我們需要了解概率理論的基礎，以理解推論統計學中使用的一些基本原則。在定義“概率”這個詞的含義之前，我將介紹一些術語，以激發思考概率的需求。

一、偶然事件

隨機性就在我們身邊。概率論是一個數學框架，它使我們能夠以邏輯合理的方式分析偶然事件。事件的概率是一個數字，表示該事件發生的可能性有多大。這個數字總是介于 0 和 1 之間，0 表示不可能，1 表示肯定。

概率實驗的一個經典例子是公平擲硬幣，其中兩種可能的結果是正面或反面。在這種情況下，拋出正面或反面的概率是 1/2 。在實際的一系列擲硬幣過程中，我們可能會得到多于或少于 50%的正面結果。但隨著擲硬幣次數的增加，正面的長期頻率必然會越來越接近 50%。

對于不公平或加權硬幣，兩種結果的可能性并不相同。您可以通過上下拖動真實概率條(右側藍色部分)來改變硬幣的權重或分布。如果我們給結果分配數字，比如 1 代表正面，0 代表反面，那么我們就創建了一個稱為隨機變量的數學對象。

二、期望值

隨機變量的期望值是一個試圖捕捉該隨機變量分布中心的數字。它可以解釋為從給定分布中提取的許多獨立樣本的長期平均值。更準確地說，它被定義為隨機變量支持區中所有可能值的概率加權，

E[X]=∑x∈XxP(x)

考慮一下擲公平骰子的概率實驗，觀察運行樣本平均值向期望值 3.5 收斂的過程。

三、方差

期望值是對中心性的衡量，而隨機變量的方差則是對隨機變量分布范圍的量化。方差是隨機變量與其期望值之間平方差的平均值、

Var(X)=E[(X−E[X])2]

四、概率為什么重要?

您每天都在使用或看到身邊的概率。即使您沒有意識到，您每天都在使用概率來對結果未知的事情做出決策。您可能在不知不覺中利用理論或實驗概率進行數學計算，也可能利用主觀概率做出判斷。下面是一些現實生活中的例子，說明你每天如何使用或看到概率：

1.天氣

氣象學家無法準確預測天氣，因此他們使用儀器和工具來找出下雪、下雨或其他天氣狀況的可能性。如果下雨的概率是 30%，那么氣象學家就確定了下雨的概率，即 100 天中有 30 天的天氣條件類似。根據天氣預報，您可以利用概率來決定當天早上穿涼鞋還是雨靴去上班。

2.體育運動

教練和運動員經常使用概率來計算比賽和比賽中的最佳運動策略。例如，如果一名橄欖球運動員在整個賽季中 15 次射門得分 10 次，那么他下一次射門得分的概率就是 10/15 或 2/3。再比如，棒球教練通過計算球員的平均打擊率來確定比賽陣容。如果一名球員的平均打擊率是 300，這意味著他每 10 次擊球中就能擊出 3 支安打，而他獲得安打的概率是 3/10。

3.保險

在分析保險單和考慮免賠額時，概率起著重要作用。例如，如果您所在地區每 100 名司機中就有 20 人在去年遭受過冰雹損壞，那么在選擇汽車保險時，您就可以利用概率來了解您的汽車遭受冰雹損壞的概率為 1/5。這種顯著的概率可能會鼓勵您為冰雹損壞投保綜合險，甚至可能降低免賠額。

4.游戲

當您玩棋盤游戲、紙牌游戲或視頻游戲等帶有運氣或機會元素的游戲時，您通常會權衡發生理想事件的幾率，例如得到您需要的牌或在骰子上擲出特定的數字。這種有利事件發生的可能性有助于你決定何時冒險或愿意冒多大風險。例如，撲克玩家知道拿到某些牌的概率，比如拿到兩張同點的概率是 42%，而拿到三張同點的概率是 2%。

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