樣本方差 s2 用于計(jì)算樣本的差異程度。樣本是從總體中抽取一定數(shù)量的項(xiàng)目。例如，如果您要測(cè)量美國人的體重，要測(cè)量人口中每個(gè)人的體重是不可行的(無論從時(shí)間還是金錢的角度來看)。解決的辦法是從人口中抽取一個(gè)樣本，比如 1000 人，然后用這個(gè)樣本量來估算整個(gè)人口的實(shí)際體重。方差可以幫助您了解權(quán)重的分布情況。

一、樣本方差的定義

方差在數(shù)學(xué)上被定義為與平均值的平方差的平均值。但這在英語中究竟是什么意思呢?為了理解方差的計(jì)算，請(qǐng)將其分解為幾個(gè)步驟：

第 1 步：計(jì)算平均數(shù)(平均權(quán)重)。

第 2 步：減去平均數(shù)，然后將結(jié)果平方。

第 3 步：算出這些差值的平均值。

二、樣本方差有什么用?

雖然方差在數(shù)學(xué)意義上是有用的，但實(shí)際上它不會(huì)提供任何可以使用的信息。例如，如果你抽取一個(gè)權(quán)重樣本，你可能會(huì)得到一個(gè) 9801 的方差。這可能會(huì)讓你撓頭，不知道為什么要計(jì)算它!答案是，您可以使用方差來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差--這是衡量權(quán)重分散程度的更好方法。為了得到標(biāo)準(zhǔn)差，取樣本方差的平方根：

√9801 = 99.

標(biāo)準(zhǔn)差與平均值相結(jié)合，可以告訴您大多數(shù)人的體重是多少。例如，如果您的平均值是 150 磅，標(biāo)準(zhǔn)差是 99 磅，那么大多數(shù)人的體重介于 51 磅(平均值-99)和 249 磅(平均值+99)之間。

樣本方差公式

如果用手計(jì)算樣本方差，教科書上給出的 "常用 "公式是

s² = Σ(xi - x?)² / (n - 1)

三、為什么在樣本方差公式中使用平方?

值為平方(而不是立方等)的原因與畢達(dá)哥拉斯定理和正交性有關(guān)(正交性是指“獨(dú)立”的另一種說法)。對(duì)于兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量X和Y，我們有：

Var (X + Y) = Var(X) + Var(Y)

這類似于以下情況：

如果兩個(gè)三角形的邊長(zhǎng)a和b是正交的，那么斜邊的長(zhǎng)度是√(a² + b²)(Kjos-Hanssen，2019)。

計(jì)算樣本方差

方差公式可能很難使用，特別是如果您對(duì)運(yùn)算順序不太熟悉的話。遠(yuǎn)程最簡(jiǎn)單的方法是使用在線標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算器來找到方差。

步驟1：將給定數(shù)據(jù)集中的數(shù)字相加。

3 + 21 + 98 + 203 + 17 + 9 = 351

步驟2：對(duì)您的答案進(jìn)行平方：

351 × 351 = 123,201

...然后除以項(xiàng)目數(shù)量。在我們的例子中有6個(gè)項(xiàng)目，所以：

123,201 / 6 = 20,533.5

暫時(shí)將這個(gè)數(shù)字放在一邊。

步驟3：這次對(duì)步驟1中的原始數(shù)字進(jìn)行單獨(dú)平方：

3 × 3 + 21 × 21 + 98 × 98 + 203 × 203 + 17 × 17 + 9 × 9

將這些數(shù)字(平方值)相加：

9 + 441 + 9604 + 41209 + 289 + 81 = 51,633

步驟4：從步驟3的結(jié)果中減去步驟2的結(jié)果。

51,633 - 20,533.5 = 31,099.5

暫時(shí)將這個(gè)數(shù)字放在一邊。

步驟5：從數(shù)據(jù)集中減去1*。對(duì)于我們的例子：

6 - 1 = 5

步驟6：將步驟4中的數(shù)字除以步驟5中的數(shù)字。這將給出方差：

31,099.5 / 5 = 6,219.9

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