集合論(Set Theory)是數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本的分支，研究集合的性質(zhì)關(guān)系以及運(yùn)算。因?yàn)榧险摰闹R(shí)太過于抽象，很多留學(xué)生聽完一個(gè)學(xué)期的課后還是不理解集合論。面對(duì)即將到來的考試，更是不知所措。HighMark專業(yè)的考前沖刺服務(wù)，有專業(yè)對(duì)口的老師為大家進(jìn)行課程知識(shí)點(diǎn)梳理，著重復(fù)習(xí)考試難點(diǎn)，幫助大家突破集合論的考試壁壘!

一、什么是集合論?

集合論是數(shù)學(xué)邏輯的一個(gè)分支，用于研究集合及其屬性。集合是一組對(duì)象或?qū)ο蟮募希@些對(duì)象通常被稱為集合的元素或成員。例如，板球隊(duì)中的球員組成一個(gè)集合。

由于板球隊(duì)中的球員數(shù)量一次可能只有11人，因此我們可以說，這個(gè)集合是有限集。另一個(gè)有限集的例子是英語元音字母的集合。但也有許多具有無限成員的集合，例如自然數(shù)集、整數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集等。

二、集合論的起源

德國(guó)數(shù)學(xué)家Georg Cantor(1845-1918)發(fā)起了“集合論”或“集合論”概念。在研究“三角級(jí)數(shù)問題”時(shí)，他接觸到了集合，這已成為數(shù)學(xué)中最基本的概念之一。如果不理解集合，將很難解釋其他概念，如關(guān)系、函數(shù)、序列、概率、幾何等。

三、集合的定義

正如我們?cè)诮榻B中已經(jīng)了解的那樣，集合是一組對(duì)象或人的明確定義的集合。集合可以與許多現(xiàn)實(shí)生活中的例子相關(guān)聯(lián)，例如印度河流的數(shù)量，彩虹中的顏色數(shù)量等。

例子

為了理解集合，考慮一個(gè)實(shí)際情景。Nivy在從家去學(xué)校的路上，決定記錄下路上經(jīng)過的餐館的名稱。餐館的列表按它們出現(xiàn)的順序如下：

上述列表是一組對(duì)象。它也是明確定義的。所謂明確定義，意味著任何人都應(yīng)該能夠判斷對(duì)象是否屬于特定集合。例如，文具店不能歸入餐館的類別。如果對(duì)象的集合是明確定義的，那么它被稱為一個(gè)集合。

集合中的對(duì)象被稱為集合的元素。集合可以有有限或無限的元素。回學(xué)校的路上，Nivy想再次確認(rèn)之前制作的列表。這一次，她按照餐館出現(xiàn)的順序再次寫下了列表。新列表如下：

現(xiàn)在，這是一個(gè)不同的列表。但它是一個(gè)不同的集合嗎?答案是否定的。元素的順序在集合中沒有意義，所以它仍然是同一個(gè)集合。

四、集合的表示

集合可以以兩種方式表示：

1. 列舉形式或表格形式

2. 集合構(gòu)造形式

五、列舉形式

在列舉形式中，列出集合的所有元素，用逗號(hào)分隔，并用大括號(hào) { } 括起來。

例如，如果集合表示在1995年和2015年之間的所有閏年，那么它將用列舉形式描述為：

A = {1996, 2000, 2004, 2008, 2012}

現(xiàn)括號(hào)內(nèi)的元素按升序編寫，也可以按降序或任意順序編寫。如前所述，對(duì)于列舉形式表示的集合，順序無關(guān)緊要。

此外，在表示集合時(shí)會(huì)忽略多重性。例如，如果L表示包含單詞"ADDRESS"中的所有字母的集合，那么適當(dāng)?shù)牧信e形式表示將是：

L = {A, D, R, E, S} = {S, E, D, A, R}

L ≠ {A, D, D, R, E, S, S}

六、集合構(gòu)造形式

在集合構(gòu)造形式中，所有元素都具有共同的屬性，這個(gè)屬性不適用于不屬于集合的對(duì)象。

例如，如果集合S包含所有偶素?cái)?shù)，它可以表示為：

S = {x: x是偶素?cái)?shù)}

其中，'x'是一個(gè)用于描述元素的符號(hào)表示。

“:” 表示“滿足”

“{}” 表示“所有的集合”

因此，S = {x: x是偶素?cái)?shù)}可讀為“所有x的集合，其中x是偶素?cái)?shù)”。該集合的列舉形式為S = {2}。這種集合稱為單元集或單元集。

另一個(gè)例子：

F = {p: p是兩位數(shù)的完全平方數(shù)集}

F = {16, 25, 36, 49, 64, 81}

我們可以看到，在上面的示例中，16是4的平方，25是5的平方，36是6的平方，49是7的平方，64是8的平方，81是9的平方。盡管4、9、121等也是完全平方數(shù)，但它們不是集合F的元素，因?yàn)樗鼉H限于只有兩位數(shù)的完全平方數(shù)。

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