計算理論(TOC)是計算機科學的一個分支，研究如何使用算法解決問題以及解決問題的效率。現實世界中的計算機所執行的計算本身就具有數學模型的功能，并以系統的方式解決問題。計算理論的精髓在于幫助創建高效、切中要害的數學和邏輯模型。由于所有實現邏輯的機器都使用 TOC，因此學習 TOC 可以讓學生深入了解計算機硬件和軟件的局限性。

一、計算問題的關鍵考慮因素

a.什么可以計算，什么不可以計算。

b.此類計算的速度。

c.此類計算期間使用的內存量。

二、計算理論的重要性

計算理論構成了以下基礎：

a.編寫在計算設備中運行的高效算法。

b.編程語言的研究及其發展。

c.高效的編譯器設計和構建。

三、計算理論的三個分支

計算理論有三個分支組成，他們是自動機原理、可計算性理論以及復雜性理論。

1.自動機理論

數學家和計算機科學家發展了計算機科學的這一理論分支，通過使用定義明確的抽象計算裝置(模型)來簡化計算邏輯。自動機理論是對抽象計算設備的研究。它為生物計算機和量子計算機等計算設備的設計和分析提供了一個形式框架。這些模型在計算機科學的多個領域(包括應用和理論)都至關重要。

自動機是一種機器，它根據輸入進行單一操作，并按照確定的模式或配置產生所需的輸出。通過自動機，我們可以了解如何使用自動機解決計算機問題和功能。

自動機理論的分支有：

a.有限自動機(FA)：這是一種計算能力較低的計算機模型。這種模型適用于內存有限的設備。它是一種簡單的抽象機器，由五個元素定義其工作方式和處理問題的方式。有限自動機(FA)是一個有限的狀態集合，帶有根據輸入符號遍歷狀態的規則(轉換函數)。有限自動機通過從左到右讀取輸入字符串來接受或拒絕它們。

b.上下文語法(CFG)：這是比 FA 更強大的抽象模型，主要用于編程語言和自然語言研究。

c.圖靈機：這是具有無限內存(磁帶形式)和讀取頭的真實計算機的抽象模型。它們是比 FA、CFG 和正則表達式更強大的計算模型。

2.可計算性理論

可計算性理論決定了一個問題是否能被抽象機器 "解決"。有些問題是可計算的，而有些問題則不可計算。根據問題的性質，會使用不同的計算模型，如圖靈機和有限狀態機。

3.復雜性理論

復雜性理論是理論計算機科學的一個分支，它以解決問題所需的資源(時間和空間)作為衡量標準，研究解決問題的成本。算法的運行時間取決于其輸入，通常隨輸入的大小而增加。

要衡量復雜性，需要對算法進行分析，以了解解決問題所需的時間(時間復雜性)。在評估算法時，重點關注輸入量增加時的相對增加率。由于算法的精確運行時間通常是一個復雜的表達式，我們通常只使用一個估計值。在確定算法的時間復雜度時，需要測量算法所需的時間與輸入大小(n)的函數關系。

T(n) 的時間復雜度使用Big O表示法表示，其中僅考慮代數表達式中的最高階項，只考慮常量項。

分析算法時常見的運行時間是：

O(1) - 恒定時間或恒定空間，無論輸入大小如何。

O(n) - 線性時間或線性空間，其中要求隨著輸入的大小均勻增加。

O(log n) - 對數時間，其中要求以對數性質增加。

O(n^2) - 二次時間，其中要求以二次性質增加。

該分析基于可用于定義每種算法成本的 2 個界限。

復雜性的主要分類包括：

P 類： P 類由可在多項式時間內解決的問題組成。對于某個常數 k，這些問題可以在 O(n^k) 時間內解決，其中 n 是問題的輸入大小。它旨在捕捉高效計算的概念。

NP類：它構成了所有問題的類，其解決方案可以通過非確定性圖靈機在多項式時間內實現。NP 是用于對決策問題進行分類的復雜性類別。

復雜性理論的一個主要貢獻者是用于解決問題的算法的復雜性。在用于解決計算問題的多種算法中，有些算法的復雜性范圍從相當復雜到非常復雜。

算法越復雜，給定問題的計算復雜度就越高。

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