人們通常只說實函數，這時人們會理解我們指的是實變量的實函數。其他類型的實函數(比如復變量的實函數)總是會被完整地明確指定。

對于數學家來說，這種對實函數的定義是完全令人滿意的，因為所有已知映射的性質都可以輕松地轉化為函數的性質。然而，對于數學的實際使用者來說，這可能不太合適，因為人們甚至可以在不知道一般映射的存在的情況下愉快高效地使用實函數，并且還可以使用較少的精確度。因此，我們將嘗試在不涉及映射的情況下解釋什么是實函數。

一、基本概念

實函數是一種指定參數值的規定。符號 y = f(x) 表示對于參數值 x，函數 f 分配了值 y。有時我們還使用符號 f : x ? y，換句話說，函數 f 將 x 映射到 y。最常用的指定這種分配方式的方法是通過某個公式，也就是說，函數值 y 可以通過將 x 替換為一個特定的公式來獲得，該公式標識了給定的函數。例如，函數 f(x) = 2x + 3 將參數 x = -1 映射為 f(-1) = 2*(-1) + 3 = 1。一個非常特殊的情況是常數函數，例如定義 g(x) = 7.3 將每個參數 x 映射到值 7.3;這對于初學者而言有時可能會讓人困惑，所以請將其視為一個警告，即可以將 x "代入" 7.3，結果就是 7.3(就像這樣：g(5) = 7.3)。

還有一種表達將某個具體數字代入函數的方法。它使用了稍微降低的豎線，過程如下：

這種符號在函數還沒有準備好進行代入操作，但我們想要進行一些調整時特別方便。例如，

最好的可視化函數的方法是通過圖形，我們在二維平面(x，y)上標記所有的對偶(x，f(x))。我們在圖片中指出了一個特定的對偶。

請注意，如果函數由一個公式給出，我們可能還對其代數結構感興趣，這是另一種從獨立于圖形觀點的方式來看待它。詳細信息請參閱關于求值順序的說明。

函數的定義域有時在函數定義時給出。更常見的情況是，實函數只是以規定、公式的形式給出，在這種情況下，我們將定義域視為所有可以代入函數的數字 x 的集合，也就是說，對于那些使得定義函數的公式有意義的 x 值。通常用 D( f )、Df 或 dom( f ) 表示，這里我們將使用第一種符號。我們可以寫成

D( f ) = {x∈?;  f (x) makes sense}.

通常，定義域將是一些區間的并集。

函數的值域是通過將來自定義域的參數代入函數獲得的所有值的集合。通常用 R( f )、Rf 或 ran( f ) 表示，這里我們將使用第一種符號。我們可以寫成

R( f ) = { f (x); x∈D( f )}.

有時只考慮給定函數在定義域的子集上的情況。這時我們稱函數被限制在了這個子集上，新函數被稱為限制。如果 M 是函數 f 的定義域 D( f ) 的子集，那么 f 在集合 M 上的限制記作 f |M。

被限制的函數具有不同的定義域，也可能有不同的值域(雖然這并非必然，有時函數可以在我們限制的子集上覆蓋其所有值，并且只在被忽略的部分重復這些值)。

函數的性質在很大程度上取決于它們的定義域，因此實際上我們必須始終將函數和它們的定義域視為一對。

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