要討論現代技術，我們首先必須對支撐這些模型的基礎數學和統計學有扎實的了解。其中一個關鍵的現代領域就是貝葉斯統計。這篇文章可以幫助大家了解貝葉斯方法的 "哲學"、它與傳統/經典常模統計方法的比較以及在量化金融和數據科學中的潛在應用。

一、什么是貝葉斯統計?

貝葉斯統計是將概率應用于統計問題的一種特殊方法。它為我們提供了數學工具，讓我們在看到有關隨機事件的新數據或證據時更新我們對這些事件的信念。

具體來說，貝葉斯推理將概率解釋為個人對特定事件發生的可信度或信心度量。

我們可能對某一事件有先驗的信念，但當新的證據出現時，我們的信念很可能會改變。貝葉斯統計法為我們提供了一種堅實的數學手段，將我們的先驗信念和證據結合起來，從而產生新的后驗信念。

貝葉斯統計為我們提供了數學工具，使我們能夠根據新的數據或證據，理性地更新我們的主觀信念。

這與另一種形式的統計推斷形成鮮明對比，后者被稱為經典或頻繁主義統計，它假定概率是特定隨機事件在長期重復試驗中發生的頻率。

二、推導貝葉斯法則

假設我們有兩個事件 A 和 B，其中 A 表示某個假設或條件，B 表示一些新的觀察到的證據。

1. 事件的聯合概率：

- 聯合概率 P(A ∩ B) 表示同時發生事件 A 和事件 B 的概率。

2. 條件概率：

- 條件概率 P(A|B) 表示在已知事件 B 發生的條件下，事件 A 發生的概率。

3. 貝葉斯定理表述：

根據概率的定義，我們有：

P(A ∩ B) = P(A|B) * P(B) (1)

同時，我們也有：

P(B ∩ A) = P(B|A) * P(A) (2)

因為 P(A ∩ B) = P(B ∩ A)，所以我們可以將 (1) 和 (2) 相等：

P(A|B) * P(B) = P(B|A) * P(A)

然后，我們可以解出 P(A|B)：

P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)

這就是貝葉斯定理的表述。現在，讓我們解釋一下其中的術語：

- P(A|B)：后驗概率，表示在觀察到事件 B 后，事件 A 發生的概率。

- P(B|A)：似然，表示在事件 A 發生的條件下，觀察到事件 B 的概率。

- P(A)：先驗概率，表示在沒有任何觀察之前事件 A 發生的概率。

- P(B)：標準化常數，表示觀察到事件 B 的概率。

貝葉斯定理的關鍵是將先驗信息(P(A))和新觀察到的證據(P(B|A))結合起來，得出更新后的后驗概率(P(A|B))。這使我們能夠在已有信息的基礎上進行更準確的概率估計，適用于許多問題，如分類、預測和參數估計。

海馬課堂專業課程輔導，2100+嚴選碩博學霸師資，針對學生的薄弱科目和學校教學進度，匹配背景相符的導師，根據學生情況進行1V1專屬備課，上課時間靈活安排，中英雙語詳細講解課程中的考點、 難點問題，并提供多方位的課后輔導，輔助學生掌握全部課程知識，補足短板。