多變量微積分課程涵蓋了向量和多元微積分。在麻省理工學(xué)院，它標(biāo)記為18.02，是麻省理工學(xué)院新生微積分課程的第二學(xué)期。課程內(nèi)容包括向量和矩陣、參數(shù)曲線、偏導(dǎo)數(shù)、二重和三重積分，以及在二維和三維空間中的向量微積分。

正如其名稱所示，多元微積分是微積分的擴(kuò)展，涉及到多于一個(gè)自變量的情況。也就是說(shuō)，在單變量微積分中，你研究的是一個(gè)獨(dú)立自變量的函數(shù)：

y=f(x)。

在多元微積分中，我們研究?jī)蓚€(gè)或更多獨(dú)立自變量的函數(shù)，例如：

z=f(x, y)或w=f(x, y, z)。

這些函數(shù)本身就具有趣味性，但它們也是描述物理世界的重要工具。

許多事物都依賴于不止一個(gè)獨(dú)立自變量。以下是一些例子：

·在熱力學(xué)中，壓力取決于體積和溫度。

·在電學(xué)和磁學(xué)中，磁場(chǎng)和電場(chǎng)是三個(gè)空間變量(x、y、z)和一個(gè)時(shí)間變量t的函數(shù)。

·在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)可以依賴于大量獨(dú)立自變量，例如，制造商的成本可能取決于27種不同商品的價(jià)格。

·在建模流體或熱流動(dòng)時(shí)，速度場(chǎng)依賴于位置和時(shí)間。

單變量微積分是一個(gè)高度幾何的學(xué)科，多元微積分也是如此，甚至可能更加如此。在你的微積分課程中，你學(xué)習(xí)了函數(shù)y=f(x)的圖形，并學(xué)會(huì)了將導(dǎo)數(shù)和積分與這些圖形聯(lián)系起來(lái)。在這門課程中，我們也將研究圖形并將它們與導(dǎo)數(shù)和積分聯(lián)系起來(lái)。一個(gè)關(guān)鍵的區(qū)別是，更多的變量意味著更多的幾何維度。這使得圖形的可視化既更加困難，也更有價(jià)值和有用。

在課程結(jié)束時(shí)，你將知道如何對(duì)多個(gè)變量的函數(shù)進(jìn)行微分和積分。在單變量微積分中，微積分基本定理將導(dǎo)數(shù)與積分聯(lián)系起來(lái)。在多元微積分中，我們也會(huì)看到類似的情況，而課程的頂點(diǎn)將是三個(gè)定理(格林、斯托克斯和高斯定理)。

課程目標(biāo)

完成這門課程后，學(xué)生應(yīng)該已經(jīng)形成了多元微積分的基本概念的清晰理解，并具備一系列能夠使他們有效地應(yīng)用這些概念的技能。

基本概念包括：

·導(dǎo)數(shù)作為變化率，通過(guò)極限比率計(jì)算

·積分作為“和”，通過(guò)黎曼和的極限計(jì)算

技能包括：

·熟練掌握向量運(yùn)算，包括向量證明以及在各種描述幾何性質(zhì)的方式之間自如轉(zhuǎn)換，即圖形、文字、向量表示和坐標(biāo)表示。

·熟練掌握矩陣代數(shù)，包括將線性方程系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為矩陣格式并使用矩陣乘法和矩陣逆解決它們的能力。

·對(duì)參數(shù)曲線的理解，將其視為由位置向量描述的軌跡;能夠找到曲線的參數(shù)方程并計(jì)算其速度和加速度向量。

·對(duì)梯度的全面理解，包括與等高線(或曲面)、方向?qū)?shù)和線性近似的關(guān)系。

·使用鏈?zhǔn)椒▌t或全微分法計(jì)算導(dǎo)數(shù)的能力。

·能夠設(shè)置和解決涉及多個(gè)變量的優(yōu)化問(wèn)題，無(wú)論是否有約束條件。

·對(duì)工作和通量的線積分、通量的面積積分、通用面積積分和體積積分的理解。同時(shí)，了解這些積分的物理解釋。

·能夠在直角、極坐標(biāo)、柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)中設(shè)置和計(jì)算多重積分。

·能夠在多重積分中更換變量。

·對(duì)課程中的主要定理(格林、斯托克斯、高斯)以及這些定理的一些物理應(yīng)用的理解。

課程結(jié)構(gòu)

這門為獨(dú)立學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)的課程已經(jīng)組織成按照麻省理工學(xué)院多元微積分課程中涵蓋的主題順序進(jìn)行的。課程內(nèi)容分為四個(gè)主要單元：

1.向量和矩陣

2.偏導(dǎo)數(shù)

3.平面內(nèi)的二重積分和線積分

4.三維空間中的三重積分和曲面積分

每個(gè)單元都進(jìn)一步劃分為不同的部分(A、B、C等)，每個(gè)部分包含一系列課程。由于每個(gè)課程都建立在以前課程的知識(shí)基礎(chǔ)上，按順序進(jìn)行課程進(jìn)度非常重要。每個(gè)課程涵蓋了你可能在一次學(xué)習(xí)中完成的內(nèi)容。

在每個(gè)單元內(nèi)，你將在戰(zhàn)略性的點(diǎn)上收到一組問(wèn)題，以便測(cè)試你對(duì)材料的理解。每個(gè)單元結(jié)束時(shí)，都會(huì)有一個(gè)綜合考試，涵蓋了你在該單元中學(xué)到的所有主題。

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